Уважаемые коллеги!

Пока на сайте АТ продолжаются терминологические дискуссии по поводу «несообразного в математике образования «математика гармонии», которое, кстати, давно используется исследователями для обозначения «пифагорейской математики», основанной на «золотом сечении» [1,2], современная педагогическая практика сделала мощный рывок вперед. Надо делать то, что завещали Пифагор, Платон, Евклид, Леонардо да Винчи, Лука Пачоли, Иоганн Кеплер – внедрять идеи Гармонии и «Золотого Сечения» в школьное образование. И этому посвящена публикация Т.Г. Константиновой, в которой предлагается программа нового учебного курса «Математика и гармония окружающего мира». Эта программа публикуется на сайте АТ поурочно: Урок 1, Урок 2 и т.д.

И для введения такого курса современная наука подготовила мощнейшую научную базу в виде прекрасных книг по этой проблеме:

1. Прежде всего, это великолепная книга «Математика и искусство», «книга для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки» [3]. Второе издание этой книги, доработанное и дополненное, опубликовано в 2000 г. издательством «Просвещение» (Москва), а ее автором является выдающийся ученый-полиглот, доктор философских наук и кандидат физико-математических наук Александр Викторович Волошинов, зав. кафедрой культурологи Саратовского государственного технического университета. Я познакомился с Александром Викторовичем в 2003 г. во время проведения конференции по «золотому сечению» в Виннице (Винницкий аграрный университет). Именно тогда он подарил мне свою замечательную книгу [3], которая с того момента стала моей настольной книгой. В 2010 г. Александр Викторович Волошинов сделал прекрасный доклад «Структурная гармония природы в структурах искусства» на пленарном заседании Международного конгресса по Математике Гармонии» (Одесса, октябрь 2010).

2. Следующая книга – это книга армянского физика доктора физико-математических наук Гранта Аракеляна «Теория ЛМФ и принцип золотого сечения», опубликованная в 8 частях на сайте АТ [4]. ЛМФ – «это теория единства логики, математики и физики и задумана она как базисная, материнская теория физического мира». В предисловии к своей книге [4] Грант Аракелян формулирует задачи и цели своей книги:

«В свете теории ЛМФ некоторые изученные казалось бы вдоль и поперек математические величины предстают в новом качестве, приобретают дополнительные, ранее не известные характеристики. В этом назначение Части II настоящей работы, где изложение исторических фактов и подробное рассмотрение формальных свойств числа Ф носит иллюстративный характер и подчинено решению основной задачи: выявлению связей между Ф и исходными ФМК, анализу принципа золотого сечения с точки зрения общих принципов и идей, изложенных в Части I. По сути ставится задача построения нетрадиционной математической теории золотой пропорции. Это построение должно быть ответвлением теории ЛМФ и призвано не только подтвердить её возможности, но и осветить некоторые ключевые вопросы, которые в обычной трактовке золотого сечения кажутся загадочными».

Таким образом, одной из главных целей книги является «задача построения нетрадиционной математической теории золотой пропорции», изложение которой дано в Главе 8 книги [5].

3. Наконец, еще одной книгой из этой серии является книга Алексея Стахова [6], опубликованная в международном издательстве «World Scientific» в 2009 г. Эта книга является итогом развития «Математического учения о Гармонии», начиная с древних греков, и восходит в своих истоках к «Началам» Евклида и книге Луки Пачоли «Божественная пропорция».

Именно с таких высоких позиций необходимо оценивать педагогический эксперимент по введению элективного курса «Математика и гармония окружающего мира», программа которого изложена в статье Константиновой. Цели этого курса, уже введенного в лицее №6 г. Ессентуки
Ставропольского края, сформулированы следующим образом:

«Данный элективный курс рассчитан на 17 часов (одно полугодие). Его слушателями могут быть учащиеся 10 или 11 классов. Программа данного курса предусматривает знакомство учащихся с законами математики, которые присутствуют в окружающем мире, управляют этим миром. Главной целью данного курса является попытка сформировать у учащихся убеждение в том, что математика, искусство и красота – понятия неразделимые. Математика – это царица всех наук, её красоте, мудрости, стройности и гармонии можно только бесконечно удивляться и восхищаться ею. Искусство – это точное соблюдение законов математики, гармония, пропорциональность, творческое вдохновение, художественное мастерство. Законы математики действуют даже в тех областях, где их менее всего ожидалось встретить: в живописи, музыке, скульптуре. И тем не менее, это так. Данный курс призван познакомить учащихся и убедить их в справедливости этого положения. Думается, что изучение этого курса позволит шире взглянуть на окружающий мир, ещё и ещё раз поразиться неразрывному сочетанию науки и искусства, пополнить свой багаж знаний. В ходе изучения курса учащиеся познакомятся с большим количеством иллюстративного материала, это станет возможным путём использования составленных к этому курсу набору презентаций. В ходе обучения предполагается выполнения практических работ в среде QuickBasic, работа в сети Интернет, работа с тестирующими программами. Итогом всей работы будет создание общего сетевого проекта: «Искусство, наука, красота».

И этот курс является мощным подспорьем «Концепции гармоничного образования и школы будущего», содержащейся в заключительной части моей статьи «Математизация гармонии и гармонизация математики» [7]. Суть этой концепции состоит в следующем.

Концепция гармоничного образования и школы будущего

Столь широкое распространение знаний о гармонии и «золотом сечении» в математике, теоретическом естествознании, образовании и других сферах человеческой деятельности (информатика, экономика, искусство) ставит вопрос о смене парадигмы и в образовании.

Напомним еще раз знаменитое высказывание Иоганна Кеплера:

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

Но если теорему Пифагора знает каждый школьник, то, по мнению Кеплера, он должен так же хорошо знать и "золотое сечение". Значит, в математическом образовании, источником которого являются «Начала» Евклида, по неизвестным причинам произошел явный «перекос». И наш первый шаг для исправления этого «перекоса» состоит в том, чтобы ввести в школьную "Геометрию" раздел "Золотое Сечение". В этом разделе школьникам будет интересно узнать об алгебраических и геометрических свойствах «золотого сечения», в частности, о "золотом" прямоугольнике, пентаграмме, "Платоновых телах" и т.д.

Переходим к "Алгебре". Здесь школьники изучают алгебраические уравнения и методы их решения. Но для школьников интересно узнать о специальном классе алгебраических уравнений - "уравнениях золотой пропорции". И мы имеем полное право ввести в "Алгебру" небольшой раздел "Уравнения золотой пропорции".

В той части школьного курса математики, которая посвящена "Теории чисел", было бы разумным ввести специальный раздел "Числа Фибоначчи".

В курсе «Информатика» обязательно необходимо ввести разделы «Коды Фибоначчи» и «Системы счисления с иррациональными основаниями».

Переходим к наукам о Природе - физике, химии, астрономии. В курсе "Физики" при изучении кристаллов желательно ввести раздел "Квазикристаллы", основанные на "икосаэдрической" симметрии, тем более, что наши школьники уже знают об икосаэдре из курса "Геометрии". В курсе "Химии" целесообразно обратить внимание школьников на химические соединения, построенные "по Фибоначчи" и на новую интерпретацию Периодической системы, предложенную Сергеем Якушко. А в курсе "Астрономии" обязательно необходимо рассказать школьникам о "резонансной теории Солнечной системы", основанной на «золотом сечении». Только таким путем школьники смогут понять причины устойчивости Солнечной системы.

Переходим к наукам о живой природе. Украшением курса "Ботаники" может стать раздел «Пентагональная симметрия» Природа дает огромное количество подтверждений существования этой закономерности и это обстоятельство является одним из важнейших аргументов существования гармонии в живой природе .

Еще один чрезвычайно интересный раздел – это ботаническое явление филлотаксиса, которое волнует науку со времен Кеплера. Это явление наиболее ярко проявляет себя в соцветьях и плотно упакованных ботанических структурах таких, как сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечника и цветной капусты и многие другие.

Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении листьев на стеблях растений, лепестков на цветке розы, в разрезе яблока (пентакл), в спиралевидном расположении семян в сосновой шишке, головке подсолнечника, ананасе и кактусе. И эта закономерность математически выражается числами Фибоначчи и золотой пропорцией! И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единому «Закону Золотого Сечения» – и раскрыть и объяснить этот фундаментальный закон природы во всех его проявлениях и есть главная задача науки. А сколько интересных возможностей для демонстрации закономерностей, основанных на «золотом сечении» и числах Фибоначчи, дает нам цикл гуманитарных дисциплин, в частности, скульптура, архитектура, живопись, поэзия. Каждый студент и школьник с огромным интересом узнает, что совершенные пропорции человека подчиняются «закону золотого сечения». Одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства является Венера Милосская - статуя богини Афродиты, найденная на острове Мелос (скульптор Агесандр из Антиохии на Медаре, ок.120 г. до н.э.). Она также подчиняется «закону золотого сечения!

Эти примеры можно было бы продолжить. Но радикальным решением в области школьного образования является введение специальной дисциплины "Гармония систем", которую можно было бы рассматривать как завершающую дисциплину физико-математического и эстетического образования учащихся. Главной задачей такой дисциплины является формирование у школьников нового научного мировоззрения, основанного на принципах Гармонии и Золотого Сечения. Программа этой дисциплины зависит от специализации школьников. В таком курсе все школьные предметы по математике, естествознанию и искусству объединяются вокруг главной идеи – идеи Гармонии Мироздания.

Много интересных примеров использования «золотого сечения» и чисел Фибоначчи в природе, науке, искусстве, архитектуре и поэзии приведено в книге [3].

В 2001-2002 учебном году я прочитал курс «Математика гармонии» для будущих педагогов, студентов физико-математического факультета Винницкого педагогического университета. Главное, что интресовало студентов, почему мы об этом не знали раньше? Почему же с такой интересной информацией нас не ознакомили в средней школе или хотя бы в университете? Ведь знания о «золотом сечении» и о его многочисленных приложениях в природе, науке и искусстве, несомненно, обогатили бы каждого из нас. И вряд ли кто-либо из признанных ученых в области педагогики сможет дать вразумительный ответ на этот вопрос. Возможно, дело в традиции. Традиционно классическая наука, а, следовательно, и классическая педагогика, относились к "золотому сечению" с некоторым предубеждением как к «эзотерическому понятию», не совместимому с «материалистическим образованием». И поэтому «золотое сечение» вместе с Платоновыми телами было выброшено на свалку сомнительных научных концепций. Но тогда, как показано в этой статье, туда же надо отправить и «Начала» Евклида, в которых «золотое сечение» очень широко представлено и которые, согласно «гипотезе Прокла», посвящены построению геометрической теории Платоновых тел. Вместе с «Началами» Евклида на свалку сомнительных научных концепций надо отправить «квазикристаллы» и «фуллерены» вместе с Нобелевским комитетом, который присуждает Нобелевские Премии за открытия, основанные на «эзотерике».

Своим опытом преподавания курса «Математика гармонии» я поделился с известным математиком Аланом Роджерсоном, научным руководителем Международного Проекта «Математическое образование в 21-м веке». Ответ проф. Роджерсона меня вдохновил. В своем письме проф. Роджерсон написал следующее:

«Дорогой Aлексей! Я восхищен Вашей статьей, наполненной интереснейшей информацией, часть из которой мне неизвестна. Ваши идеи настолько глубоки, что их внедрение в школах – это следующий шаг в математическом образовании. Имеются ли преподаватели в Украине или где-либо, которые начали использовать ваши идеи и вашу научную программу? В наибольшей степени я был бы заинтересован в информацию об их преподавательском опыте. Мы очень надеемся, что Вы сможете посетить нашу Конференцию в Сицилии. С наилучшими пожеланиями – Алан».

Позже Алан Роджерсон направил мне официальное письмо-приглашение для участия в Конференции «Гуманистическое Возрождение в Математическом Образовании» и выступить на ней с научным докладом. Конференция состоялась в Италии (Сицилия, Палермо) с 20 по 25 сентября 2002 года:

«Как Председатель Международного Программного Комитета, я имею честь от имени Комитета пригласить Вас принять участие в работе нашей Конференции и прочитать на ней лекцию с детальным изложением Вашей всемирно известной работы: "Роль Золотого Сечения в современном математическом образовании". Ваша лекция будет включена в программу Конференции и будет издана а «Трудах Конференции». Мы рассматриваем Вас как достойного представителя Украины, вашего города Винница и Винницкого государственного педагогического университета. Мы надеемся в будущем, что Вы и Ваш университет будете активными участниками нашего Международного Проекта «Математическое образование в 21-м веке».

Принимая во внимание нашу заинтересованность в Вашем участии в Конференции, мы можем уменьшить для Вас вступительный взнос участника Конференции от $400 до $150 US. Мы также надеемся, что Мэр вашего города доктор Александр Домбровский и Ректор вашего Университета профессор доктор Никифор Шунда смогут поддержать финансово Ваше участие в нашей Конференции, поскольку Вы будете представлять на нашей Конференции г. Винницу, Винницкий государственный педагогический университет и Украину и Вы сможете предоставить в своем докладе все достижения Вашего университета в области математического образования.

Искренне Ваш – доктор Алан Роджерсон».

К слову сказать, концепция «гармонизации образования» активно развивается отдельными энтузиастами в США. Особенно интересными является исследовательская деятельность и практическая работа американского учителя математики Michael Shneider. Он опубликовал около 10 книг и учебных пособий о гармонии природы, предназначенных для школьников и студентов.  Главная его книга "A Beginner's Guide to Constructing the Universe: Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science" ("Руководство для начинающих о конструкции Вселенной: Математическое архетипы природы, искусства и науки")

Его книги и учебные пособия очень близки по замыслу и идеям к моей книге [6]. Главное состоит  в том, что Michael Shneider давно  обучает американских школьников основам гармонии Мироздания, то есть, тому, что нам завещали Пифагор, Платон и Евклид.

Таким образом, новая «концепция гармоничного образования и школы будущего» состоит в том, чтобы широко ввести понятие «гармонии» и связанные с ним понятия Платоновых тел, "золотого сечения", чисел Фибоначчи в школьные курсы по математике, физике, химии, информатике, ботанике, биологии, физиологии, медицине, искусству, архитектуре, музыке, литературе и поэзии. В этом случае процесс изучения этих курсов превращается в увлекательный поиск «гармонических отношений» в математике, природе, науке, искусстве, музыке, поэзии. Школьникам и студентам необходимо рассказать об истинной истории математики, о «гипотезе Прокла» и новой трактовке «Начал» Евклида.

Если сравнить образование с могучим деревом, ветками которого являются отдельные учебные дисциплины, то стволом такого дерева для «гармоничного образования» должна быть «концепция гармонии и золотого сечения». К слову сказать, ветки на стволах деревьев располагаются по «принципу Фибоначчи» (это еще один пример филлотаксиса).

Литература:

1. Harmony of spheres. The Oxford dictionary of philosophy‎, Oxford University Press, 1994, 1996, 2005
2. Vladimir Dimitrov. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics. Morrisville Lulu Press, 2005.
3. Волошинов А.В. Математика и искусство. 2-е издание, доработанное и дополненное. М.: Просвещение. – 399 с.
4. Грант Аракелян, Теория ЛМФ и принцип золотого сечения. Глава 1 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16694, 30.07.2011
5. Грант Аракелян, Теория ЛМФ и принцип золотого сечения. Глава 8 // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16865, 02.10.2011
6. Stakhov A.P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. New Jersey. London. Singapore. Hong Kong: World Scientific, 2009.
7. А.П. Стахов, Математизация гармонии и гармонизация математики // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.16897, 16.10.2011